QUESTION 1

• La bonne réponse est : « $\dfrac{1}{10}$ ».

Le double de 5 est 10. L’inverse du double de 5 est $\dfrac{1}{10}$.

• La bonne réponse est : « $-\dfrac{5}{2}$ ».

Dans $F=a+\dfrac{b}{c d}$ , on substitue $a$, $b$, $c$ et $d$ par les valeurs données dans l’énoncé :

$$ \begin{aligned} F&=a+\dfrac{b}{c\times d}\\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)}\\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{-1}\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}\\ &=-\dfrac{5}{2} \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « une baisse de $2,5$ % ».

Lorsqu’un prix $p$ subit une évolution de $t$ %, la valeur finale est : $$p\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$$

Ici, le coefficient multiplicateur $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ vaut $0,975$.

Ainsi : $$\dfrac{t}{100}=0,975-1=-0,025$$

Le prix a donc connu une baisse de $2,5$ %.

• La bonne réponse est :« $P_1$<$P$ ».

Le prix $P$ augmente de $10$ % puis baisse de $10$ %.

Le prix final est donc :

$$P_1=P\times\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{10}{100}\right)=P\times 1,1\times 0,9$$

Ainsi :

$$P_1=P\times 0,99$$

Or $0,99<1$, donc le prix final est inférieur à $P$.

• La bonne réponse est : « $x=\dfrac{2}{15}$ ».

On lance un dé à $4$ faces : les issues possibles de cette expérience sont {$1;2;3;4$}. On sait que la somme des probabilités des issues possibles vaut $1$. Ainsi : $$ \begin{aligned} x+0,5+\dfrac{1}{6}+0,2&=1\\ x+0,7+\dfrac{1}{6}&=1\\ x&=1-0,7-\dfrac{1}{6}\\ x&=0,3-\dfrac{1}{6}\\ x&=\dfrac{1,8}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{0,8}{6}=\dfrac{0,4}{3}=\dfrac{2}{15} \end{aligned} $$

• La bonne réponse est : « $u=\dfrac{x y}{x+y}$ ».

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{u}\ \Leftrightarrow\ \dfrac{x+y}{x\times y}=\dfrac{1}{u}$$

$\dfrac{1}{u}\neq 0$, donc on peut inverser ce quotient :

$$u=\dfrac{x\times y}{x+y}$$

• La bonne réponse est : « $x\leq -\sqrt{10}$ ou $x\geq \sqrt{10}$ ».

• La bonne réponse est : « $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-1=0$ ».

La droite $D$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées : elle admet donc une équation cartésienne de la forme $y=ax+b$.

• $b$ est l’ordonnée à l’origine : sur le graphique, on lit $b=2$.
• $a$ est le coefficient directeur.

Les points de coordonnées $(0;2)$ et $(3;0)$ appartiennent à $D$, donc :

$$a=\dfrac{0-2}{3-0}=-\dfrac{2}{3}$$

Ainsi, une équation cartésienne de $D$ est : $$y=-\dfrac{2}{3}x+2$$

On transforme cette équation afin d’obtenir une forme standard :

On multiplie d’abord les deux membres par 3 pour éliminer le dénominateur : $$3y = -2x + 6$$

On rassemble ensuite tous les termes dans le même membre : $$2x + 3y - 6 = 0$$

Enfin, on divise chaque terme par 6 : $$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$$

• La bonne réponse est : « toutes ».

Une fonction affine $f$ est de la forme $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

Ici, pour tout réel $x$ :

• $f_1(x)=x^2-(1-x)^2=x^2-\left(1-2x+x^2\right)=2x-1$ : c’est une fonction affine avec $a=2$ et $b=-1$.

• $f_2(x)=\dfrac{1}{2}x-\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ : c’est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

• $f_3(x)=\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{0,7}x+\dfrac{5}{0,7}$ : c’est une fonction affine avec $a=\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{0,7}$ et $b=\dfrac{5}{0,7}$.

Ainsi, $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont toutes des fonctions affines.

• La bonne réponse est : « $x\mapsto -x^2+10$ ».

La fonction représentée par la parabole $P$ est de la forme $$f:x\mapsto ax^2+bx+c$$

La parabole $P$ est « inversée » : on sait donc que $a<0$.

De plus, la parabole coupe l’axe des ordonnées en un point d’ordonnée strictement positive, donc $f(0)>0$.

Or $f(0)=c$, donc $c>0$.

La seule fonction proposée telle que $a<0$ et $c>0$ est : $$x\mapsto -x^2+10$$

• La bonne réponse est : « $x_A\ \text{et}\ x_R$ ».

$$ x\times f(x)>0\Rightarrow \begin{cases} x>0\ \text{et}\ f(x)>0\\ \text{ou}\\ x<0\ \text{et}\ f(x)<0 \end{cases} $$

On cherche donc les points dont l’abscisse et l’ordonnée sont non nulles et de même signe : c’est le cas pour $A$ et pour $R$.

• La bonne réponse est : « $x=19$ ».

La moyenne pondérée est :

$$m=\dfrac{10\times 1+8\times 2+16\times x}{1+2+x}=\dfrac{16+16x}{3+x}$$

On résout : $$\dfrac{16+16x}{3+x}=15$$ $$ \begin{aligned} &\Leftrightarrow 16+16x=15\times(3+x)\\ &\Leftrightarrow 16+16x=45+15x\\ &\Leftrightarrow x=45-16=29 \end{aligned} $$

Exercice 1

Dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$, le vecteur $\overrightarrow{OC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x_C-x_O\\y_C-y_O\end{pmatrix}$.

Ainsi :

Donc :

$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(OI)$.

On en déduit que :

$$\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OH}=OI\times OH\times\cos\left(\widehat{IOH}\right)$$

Les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés, donc l’angle $\widehat{IOH}$ mesure $0$ ou $180$ degrés et $\cos\left(\widehat{IOH}\right)$ vaut respectivement $1$ ou $-1$.

Ainsi, il y a uniquement deux cas possibles :

ou

Or on a déjà calculé $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=12$.

Comme $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}>0$, on a $\cos\left(\widehat{IOH}\right)=1$.

En conclusion :

$$\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=OI\times OH$$

On a déterminé que : $\overrightarrow{OI}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.

Le repère étant orthonormé, on a $\left\lVert\overrightarrow{OI}\right\rVert=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$.

Conclusion : $OI=5$.

On a prouvé que : $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=OI\times OH$

Or : $\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC}=12$ et $OI=5$.

On a donc :

$$ \begin{aligned} OI\times OH&=12\\ 5\times OH&=12\\ OH&=\dfrac{12}{5}\\ OH&=2,4 \end{aligned} $$

La droite $(CH)$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

On sait que $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ sont les coordonnées d’un vecteur normal à cette droite.

Or les droites $(CH)$ et $(OI)$ sont perpendiculaires en $H$. Ainsi, un vecteur normal à la droite $(CH)$ est le vecteur $\overrightarrow{OI}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.

Une équation cartésienne de la droite $(CH)$ est donc de la forme : $4x+3y+c=0$.

On détermine $c$ en utilisant le fait que le point $C$ appartient à la droite $(CH)$. Comme $C(0;4)$, on a :

$$ \begin{aligned} 4\times 0+3\times 4+c&=0\\ c&=-12 \end{aligned} $$

En conclusion, une équation cartésienne de la droite $(CH)$ est $4x+3y-12=0$.

Le cercle $\varepsilon$ a pour centre $D(2\,;\,2)$ et pour rayon $0,5$.

Une équation de ce cercle est : $(x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2$

On développe le membre de gauche : $$x^2-4x+4+y^2-4y+4=0,25$$

$$ \begin{aligned} &\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-4y+8-0,25=0\\ &\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-4y+7,75=0 \end{aligned} $$

Une équation du cercle $\varepsilon$ est donc : $x^2+y^2-4x-4y+7,75=0$

Le point $M(1,5\,;\,2)$ appartient à l’intersection de $\varepsilon$ et de $(CH)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient les deux équations cartésiennes.

• $M(1,5\,;\,2)$ appartient-il à $(CH)$ ?

Une équation cartésienne de la droite $(CH)$ est $4x+3y-12=0$.

On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $M$ dans le membre de gauche de l’équation.

$$ \begin{aligned} 4\times 1,5+3\times 2-12&=6+6-12\\ &=0 \end{aligned} $$

Ainsi $M\in (CH)$.

• $M(1,5\,;\,2)$ appartient-il à $\varepsilon$ ?

Une équation du cercle $\varepsilon$ est $x^2+y^2-4x-4y+7,75=0$.

On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $M$ dans le membre de gauche de l’équation.

$$ \begin{aligned} 1,5^2+2^2-4\times 1,5-4\times 2+7,75 &=2,25+4-6-8+7,75\\ &=14-14\\ &=0 \end{aligned} $$

Donc $M\in \varepsilon$.

En conclusion, le point $M(1,5\,;\,2)$ appartient à l’intersection de $\varepsilon$ et de $(CH)$.

Exercice 2

La fonction $g$ est un polynôme du second degré.

$g(x)$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=-5$ et $c=4$.

On calcule le discriminant :

$$ \begin{aligned} \Delta&=b^2-4ac\\ &=(-5)^2-4\times 1\times 4\\ &=25-16\\ &=9 \end{aligned} $$

Comme $\Delta>0$, $g(x)$ admet deux racines réelles :

$$ \begin{aligned} x_1&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{5-\sqrt{9}}{2\times 1} =\dfrac{5-3}{2} =1\\ x_2&=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{5+\sqrt{9}}{2\times 1} =\dfrac{5+3}{2} =4 \end{aligned} $$

On sait que $g(x)$ est du signe de $a=1$ à l’extérieur des racines.

On en déduit le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ :

Ainsi $g(x)>0$ sur $]-\infty\,;\,1[\cup]4\,;\,+\infty[$ et $g(x)<0$ sur $]1\,;\,4[$.

Soit $n$ un entier naturel.

$A_n$ est le point de la courbe $\mathscr{P}$ d’abscisse $n$, donc ses coordonnées sont $(n\,;\,g(n))$.

$A_{n+1}$ est le point de la courbe $\mathscr{P}$ d’abscisse $n+1$, donc ses coordonnées sont $(n+1\,;\,g(n+1))$.

Les deux points n’ont pas la même abscisse, donc la droite $(A_nA_{n+1})$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Son coefficient directeur est donc :

$$ \begin{aligned} a_n&=\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n}\\ &=\dfrac{g(n+1)-g(n)}{1}\\ &=g(n+1)-g(n) \end{aligned} $$

Or $g(n)=n^2-5n+4$.

Donc :

$$ \begin{aligned} g(n+1)-g(n) &=(n+1)^2-5(n+1)+4-(n^2-5n+4)\\ &=n^2+2n+1-5n-5+4-n^2+5n-4\\ &=2n-4 \end{aligned} $$

En conclusion, pour tout entier naturel $n$, $a_n=2n-4$.

Soit $n$ un entier naturel.

$a_n=2n-4$.

Donc $a_{n+1}=2(n+1)-4=2n-2$.

Ainsi :

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n&=2n-2-(2n-4)\\ &=2n-2-2n+4\\ &=2 \end{aligned} $$

Donc, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}-a_n=2$.

$(a_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $2$.

Pour tout nombre réel $x$ non nul, on a :

$$ \begin{aligned} \dfrac{g(x)}{x} &=\dfrac{1}{x}\times g(x)\\ &=\dfrac{1}{x}\times(x^2-5x+4)\\ &=x-5+\dfrac{4}{x} \end{aligned} $$

Ainsi, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0,5\,;\,8]$, on a : $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.

Sur l’intervalle $[0,5\,;\,8]$, on a $x>0$.

Comme $f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$, $f(x)$ a le même signe que $g(x)$ et s’annule pour les mêmes nombres réels.

Or, d’après la question 1.a, $g(x)$ est positif sur $[0,5\,;\,1[$, négatif sur $]1\,;\,4[$ et positif sur $]4\,;\,8]$.

De plus, sur $[0,5\,;\,8]$, $g(x)=0$ si et seulement si $x=1$ ou $x=4$.

On en déduit que $f(x)$ :

• est strictement positif sur $[0,5\,;\,1[$ et sur $]4\,;\,8]$,
• est strictement négatif sur $]1\,;\,4[$,
• s’annule si et seulement si $x=1$ ou $x=4$.

En conclusion, la courbe $C$ représentative de la fonction $f$ :

• est au-dessus de l’axe des abscisses sur $[0,5\,;\,1[$ et sur $]4\,;\,8]$,
• est en dessous de l’axe des abscisses sur $]1\,;\,4[$,
• coupe l’axe des abscisses uniquement en $x=1$ ou $x=4$.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0,5\,;\,8]$.

Pour tout réel $x$ de $[0,5\,;\,8]$, on a :

$$ \begin{aligned} f'(x)&=1-\dfrac{4}{x^2}\\ &=\dfrac{x^2-4}{x^2}\\ &=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} \end{aligned} $$

On cherche le signe de $f'(x)$.

On a $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$.

Or $x-2>0\Leftrightarrow x>2$

et $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$.

Sur l’intervalle $[0,5\,;\,8]$, on a $x>0$, donc $x^2>0$ et $x+2>0$.

Ainsi, sur $[0,5\,;\,8]$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x-2$ :

$f'(x)<0$ sur $[0,5\,;\,2[$ et $f'(x)>0$ sur $]2\,;\,8]$.

On en déduit le tableau de signes de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0,5\,;\,8]$ :

Le tableau de variations de $f$ sur $[0,5\,;\,8]$ est donc le suivant :

On calcule les valeurs de $f$ aux bornes et au point critique :

$$ \begin{aligned} f(0,5)&=0,5-5+\dfrac{4}{0,5}=-4,5+8=3,5\\ f(2)&=2-5+\dfrac{4}{2}=-1\\ f(8)&=8-5+\dfrac{4}{8}=3+0,5=3,5 \end{aligned} $$

Pour réaliser le schéma de la courbe $C$, on prend en compte que :

• la courbe passe par les points de coordonnées $(0,5\,;\,3,5)$, $(2\,;\,-1)$ et $(8\,;\,3,5)$ ;

• la courbe coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse $x=1$ et $x=4$ ;

• la fonction est décroissante sur $[0,5\,;\,2]$ puis croissante sur $[2\,;\,8]$ ;

• la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses sur $[0,5\,;\,1[$ et sur $]4\,;\,8]$  ;

• la courbe est en dessous de l’axe des abscisses sur $]1\,;\,4[$ ;

• enfin, on a $f'(2)=0$, donc la tangente à $C$ au point d’abscisse $2$ est horizontale.

On obtient donc l’allure suivante pour la courbe :